Question

已知在区间[0，

π

2

]内有两个不同的实数x的值满足cos2x+

3

sin2x-k-1=0，则k的范围是（　　）

A．0＜k≤1

B．-3≤k≤1

C．0≤k＜1

D．k＜1

Answer 1

分析：利用两角和正弦公式可得，sin（2x+

π

6

）=

k+1

2

在区间[0，

π

2

]内有两个不同的实数解，数形结合可得

1

2

≤

k+1

2

＜1，由此求得k的范围．

解答：解：方程 cos2x+

3

sin2x-k-1=0，即 2sin（2x+

π

6

）=k+1，即sin（2x+

π

6

）=

k+1

2

．
由x∈[0，

π

2

]，可得 2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]．
令2x+

π

6

=t，t∈[

π

6

，

7π

6

]，则由题意可得 sint=

k+1

2

在[

π

6

，

7π

6

]上有2个实数解，
即函数y=sint的图象和直线y=

k+1

2

 在[

π

6

，

7π

6

]上有2个交点，如图所示：
结合图形可得

1

2

≤

k+1

2

＜1，解得 0≤k＜1，
故选C．

点评：本题考查两角和正弦公式，正弦函数的单调性和值域，得到

1

2

≤

k+1

2

＜1，是解题的关键，属于基础题．