Question

已知A为锐角△ABC的一个内角，满足2sin²（A+）-cos2A=．
（I）求角A的大小；
（II）若BC边上的中线长为3，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

（本题满分14分）
解：（I）2sin²（A+）-cos2A=1-cos（2A+）-cos2A
=1+sin2A-cos2A=1+2（sin2A-cos2A）
=1+2sin（2A-）=1+，
∴sin（2A-）=，（4分）
∵A∈（0，），2A-∈（-，），
∴2A-=，解得A=；（7分）
（II）根据题意画出图形，如图所示：

延长AD到点E，使DE=AD=3，又AD为中线，可得BD=CD，
∴四边形ABEC为平行四边形，
∴AC∥BE，BE=AC=b，
又A=，
∴∠BAC+∠ABE=π，即∠ABE=π-∠BAC=，
在△ABE中，根据余弦定理得：6²=b²+c²-2bccos∠ABE=b²+c²+bc，
又b²+c²≥2bc，
∴bc≤=12，（11分）
∴S_△ABC=bcsin∠BAC=bc≤3，当且仅当b=c=2时取等号，
则△ABC面积的最大值为3．（14分）
分析：（I）把已知的等式的左边第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用诱导公式变形后，根据两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，可得出sin（2A-）的值，由A为锐角，得到2A-的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（II）根据题意画出相应的图形，延长AD到E，使DE=AD，连接BE，CE，根据对角线互相平分的四边形为平行四边形得到ABEC为平行四边形，可得出对边AC与BE平行，根据两直线平行同旁内角互补可得出∠ABE与∠BAC互补，由∠BAC的度数表示出∠ABE的度数，在三角形ABE中，由余弦定理得到AE²=b²+c²-2bccos∠ABE，将AE及表示出的∠ABE的度数代入，整理后再利用基本不等式变形，求出bc的最大值，然后利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将∠BAC的度数及bc的最大值代入即可求出面积的最大值．
点评：此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，两角和与差的正弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，诱导公式，基本不等式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．