Question

已知x＞1，y＞1，且

1

4

lnx，

1

4

，lny成等比数列，则xy的最小值为

e

．

Answer 1

分析：由题意可得lnx＞0，lny＞0，lnx•lny=

1

4

，由基本不等式可得lnx+lny的最小值，由对数的运算可得xy的最小值．

解答：解：∵x＞1，y＞1，∴lnx＞0，lny＞0，
又∵

1

4

lnx，

1

4

，lny成等比数列，
∴

1

16

=

1

4

lnx•lny，解得lnx•lny=

1

4

，
由基本不等式可得lnx+lny≥2

lnx•lny

=1，
当且仅当lnx=lny，即x=y=

e

时取等号，
故ln（xy）=lnx+lny≥1=lne，即xy≥e，
故xy的最小值为：e
故答案为：e

点评：本题考查等比数列和基本不等式的应用，属基础题．