Question

平面上有两点A（-1，0），B（1，0），P为圆x²+y²-6x-8y+21=0上的一点，试求S=|AP|²+|BP|²的最大值与最小值，并求相应的P点坐标．

Answer 1

解：把已知圆的一般方程化为标准方程得（x-3）²+（y-4）²=4，设点P的坐标为（x₀，y₀），
则．…（2分）
∵点P（x₀，y₀）在已知圆上，∴=6x₀ +8y₀-21=0，∴S=4（3x₀ +4y₀-10）．
∵（x-3）²+（y-4）²=4，可设x₀=3+2cosθ，y₀ =4+2sinθ．
∴S=4（3x₀ +4y₀-10）=4（6cosθ+8sinθ+15）=40sin（θ+∅）+60，其中，tan∅=，0＜∅＜．
∵-1≤sin（θ+∅）≤1，∴20≤S≤100，再由tan∅=，0＜∅＜，可得 cos∅=，sin∅=．
当S=100时，sin（θ+∅）=1，θ+∅=，θ=-∅．
∴sinθ=cos∅=，cosθ=sin∅=，∴x₀=3+2cosθ=，y₀ =4+2sinθ=．
当 S=20时，sin（θ+∅）=-1，θ+∅=，θ=-∅．sinθ=-cos∅=-，cosθ=-sin∅=-，
∴x₀=3+2cosθ= y₀ =4+2sinθ=．
∴S的最大值是100，这时点P的坐标是，S的最小值是20，这时点P的坐标是（）．
分析：设点P的坐标为（x₀，y₀），则有S=4（3x₀ +4y₀-10），设x₀=3+2cosθ，y₀ =4+2sinθ，则S=40sin（θ+∅）+60，其中，tan∅=，0＜∅＜．根据-1≤sin（θ+∅）≤1，可得
20≤S≤100，当S=100时，sin（θ+∅）=1，θ+∅=，θ=-∅，求出点P的坐标；同理求得 S=20时点P的坐标．
点评：本题主要考查正弦函数的定义域和值域，点与圆的位置关系，诱导公式的应用，属于中档题．