Question

已知：

a

=(

3

sinx，cosx)，

b

=(cosx，cosx)，f(x)=2

a

•

b

+2m-1(x，m∈R)．
（1）求f（x）关于x的表达式，并求f（x）的最小正周期；
（2）若x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最小值为5，求m的值．

Answer 1

分析：（1）利用两个向量的数量积公式，两角和的正弦公式，化简函数f（x）的解析式为2sin（2x+

π

6

 ）+2m，
求得周期．
（2）x∈[0，

π

2

]时，可得2x+

π

6

 的范围，得到当 2x+

π

6

=

7π

6

 时，函数 f（x）取的最小值为2m-1=5，
解出m的值．

解答：解：（1）f（x）=2

a

•

b

+2m-1(x，m∈R)=2

3

sinxcosx+2cos²x-1
=

3

sin2x+cos2x+2m=2sin（2x+

π

6

 ）+2m，故f（x） 的最小正周期等于 π．
（2）若x∈[0，

π

2

]时，则

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，故当 2x+

π

6

=

7π

6

 时，函数 f（x）取的最小值为2m-1，
由2m-1=5，可得m=3．

点评：本题考查两个向量的数量积公式，两角和的正弦公式，正弦函数的最值，化简函数f（x）的解析式，是
解题的关键，属于中档题．