Question

　已知椭圆（a＞b＞0）上两点A、B，直线上有两点C、D，且ABCD是正方形。此正方形外接圆为x²+y²-2y-8=0，求椭圆方程和直线的方程。

Answer 1

椭圆方程 ，直线方程为y=x+4

解析:

：圆方程x²+y²-2y-8=0即x²+(y-1)²=9的圆心O＇（0，1），半径r=3。

  设正方形的边长为p，则，∴，又O＇是正方形ABCD的中心，∴O＇到直线y=x+k的距离应等于正方形边长p的一半即，由点到直线的距离公式可知k=-2或k=4。

  （1）设AB：y=x-2     由  y=x-2

         CD：y=x+4         x²+y²-2y-8=0

  得A（3，1）B（0，-2），又点A、B在椭圆上，∴a²=12，b²=4，椭圆的方程为。

  （2）设AB：y=x+4，同理可得两交点的坐标分别为（0，4），（-3，1）代入椭圆方程得

，此时b²＞a²（舍去）。

综上所述，直线方程为y=x+4，椭圆方程为。