Question

设f（x）=[x²-（t+3）x+2t+3]•e^x，t∈R
（1）若f（x）在R上无极值，求t值；
（2）求f（x）在[1，2]上的最小值g（t）表达式；
（3）若对任意的t∈[1，+∞），任意的x∈[1，2]，均有m≤f（x）成立，求m的取值范围．

Answer 1

求导函数，可得f′（x）=（x-1）（x-t）•e^x．
（1）函数f（x）在R上无极值，则方程（x-1）（x-t）=0有等根，即t=1；
（2）当t≤1时，x∈（1，2），f′（x）＞0，∴f（x）在[1，2]上单调递增，
∴f（x）_min=f（1）=（t+1）e．
当1＜t＜2时，x∈（1，t），f′（x）＜0，f（x）在[1，t）上单调递减；
x∈（t，2），f′（x）＞0，f（x）在（t，2]上单调递增，
∴f（x）_min=f（t）=（3-t）•e^t
当t＞2时，x∈（1，2），f′（x）＜0，f（x）在[1，2]上单调递减，
∴f（x）_min=f（2）=e²
综上，g（t）=

(t+1)e，t≤1 (3-t)•et，1＜t＜2 e2，t≥2

；
（3）问题等价于：对任意的t∈[1，+∞），m≤g（t），即m≤g（t）_min，t∈[1，+∞）．
当t=1时，g（t）=2e；                                             
当1＜t＜2时，g′（t）=（2-t）•e^t＞0，故g（t）在（1，2）上单增，且g（t）的图象连续不断，有2e=g（1）＜g（t）＜g（2）=e²；                                     
当t≥2时，g（t）=e²
综上，m≤2e．