Question

【题目】已知函数，，如果对于定义域内的任意实数，对于给定的非零常数，总存在非零常数，恒有成立，则称函数是上的级类增周期函数，周期为，若恒有成立，则称函数是上的级类周期函数，周期为.

（1）已知函数是上的周期为1的2级类增周期函数，求实数的取值范围；

（2）已知，是上级类周期函数，且是上的单调递增函数，当时，，求实数的取值范围；

（3）是否存在实数，使函数是上的周期为的级类周期函数，若存在，求出实数和的值，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）当时，，；当时，，.

【解析】

（1）由题意f（x+1）＞2f（x）整理可求得a＜x﹣1，令x﹣1＝t（t≥2），由g（t）＝t在[2，+∞）上单调递增，即可求得实数a的取值范围；（2）由x∈[0，1）时，f（x）＝2x，可求得当x∈[1，2）时，f（x）＝mf（x﹣1）＝m2x﹣1，…当x∈[n，n+1）时，f（x）＝mn2x﹣n，利用f（x）在[0，+∞）上单调递增，可得m＞0且mn2n﹣n≥mn﹣12n﹣（n﹣1），从而可求实数m的取值范围；（3）f（x+T）＝Tf（x）对一切实数x恒成立，即cosk（x+T）＝Tcoskx对一切实数恒成立，分当k＝0时，T＝1；当k≠0时，要使cosk（x+T）＝Tcoskx恒成立，只有T＝±1，于是可得答案．

（1）由题意可知：f（x+1）＞2f（x），即﹣（x+1）2+a（x+1）＞2（﹣x2+ax）对一切[3，+∞）恒成立，

整理得：（x﹣1）a＜x2﹣2x﹣1，

∵x≥3，

∴ax﹣1，

令x﹣1＝t，则t∈[2，+∞），g（t）＝t在[2，+∞）上单调递增，

∴g（t）min＝g（2）＝1，

∴a＜1．

（2）∵x∈[0，1）时，f（x2x，

∴当x∈[1，2）时，f（x）＝mf（x﹣1）＝m2x﹣1，…

当x∈[n，n+1）时，f（x）＝mf（x﹣1）＝m2f（x﹣2）＝…＝mnf（x﹣n）＝mn2x﹣n，

即x∈[n，n+1）时，f（x）＝mn2x﹣n，n∈N*，

∵f（x）在[0，+∞）上单调递增，

∴m＞0且mn2n﹣n≥mn﹣12n﹣（n﹣1），

即m≥2．

（3）由已知，有f（x+T）＝Tf（x）对一切实数x恒成立，

即cosk（x+T）＝Tcoskx对一切实数恒成立，

当k＝0时，T＝1；

当k≠0时，

∵x∈R，

∴kx∈R，kx+kT∈R，于是coskx∈[﹣1，1]，

又∵cos（kx+kT）∈[﹣1，1]，

故要使cosk（x+T）＝Tcoskx恒成立，只有T＝±1，

当T＝1时，cos（kx+k）＝coskx得到 k＝2nπ，n∈Z且n≠0；

当T＝﹣1时，cos（kx﹣k）＝﹣coskx得到﹣k＝2nπ+π，

即k＝（2n+1）π，n∈Z；

综上可知：当T＝1时，k＝2nπ，n∈Z；

当T＝﹣1时，k＝（2n+1）π，n∈Z．