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    （2012•蓝山县模拟）已知动圆G过点F（
    3
    2
    ，0），且与直线l：x=-
    3
    2
    相切，动圆圆心G的轨迹为曲线E．曲线E上的两个动点A（x1，y1）和B（x2，y2）．
    （1）求曲线E的方程；
    （2）已知
    OA
    •
    OB
    =-9（O为坐标原点），探究直线AB是否恒过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过，请说明理由．
    （3）已知线段AB的垂直平分线交x轴于点C，其中x1≠x2且x1+x2=4．求△ABC面积的最大值．
    分析：（1）依题意，圆心G到定点F（
    3
    2
    ，0）的距离与到直线l：x=-
    3
    2
    的距离相等，由此可求曲线E的方程；
    （2）当直线AB不垂直x轴时，设直线AB方程为y=kx+b代入抛物线方程，利用韦达定理及
    OA
    •
    OB
    =-9，可求直线AB方程，从而可得直线AB恒过定点；当直线AB垂直x轴时，也过定点．
    （3）设线段AB的中点为M（x0，y0），求出线段AB的垂直平分线的方程，直线AB的方程代入抛物线方程，利用韦达定理，进而可得S△ABC=
    1
    2
    |AB|h=
    1
    3
    (9+y
    2
    0
    )2(12-
    y
    2
    0
    )
    ，利用换元法，构造函数，利用导数知识，即可求得结论．
    解答：解：（1）依题意，圆心G到定点F（
    3
    2
    ，0）的距离与到直线l：x=-
    3
    2
    的距离相等，
    ∴曲线E是以F（
    3
    2
    ，0）为焦点，直线l：x=-
    3
    2
    为准线的抛物线．
    ∴曲线E的方程为y2=6x．（3分）
    （2）当直线AB不垂直x轴时，设直线AB方程为y=kx+b　（k≠0）．
    由
    y=kx+b
    y2=6x
    消去x得ky2-6y+6b=0，△=36-24kb＞0．
    ∴y1y2=
    6b
    k
    ，x1x2=
    y
    2
    1
    6
    •
    y
    2
    2
    6
    =
    (y1y2)2
    36
    =
    b2
    k2
    ．
    ∴
    OA
    •
    OB
    =x1x2+y1y2=
    b2
    k2
    +
    6b
    k
    =-9，
    ∴b2+6kb+9k2=0，∴（b+3k）2=0，∴b=-3k，满足△＞0．
    ∴直线AB方程为y=kx-3k，即y=k（x-3），
    ∴直线AB恒过定点（3，0）．（7分）
    当直线AB垂直x轴时，可推得直线AB方程为x=3，也过点（3，0）．
    综上，直线AB恒过定点（3，0）．（8分）
    （3）设线段AB的中点为M（x0，y0），则
    x0=
    x1+x2
    2
    =2，y0=
    y1+y2
    2
    ，∴kAB=
    y1-y2
    x1-x2
    =
    6
    y1+y2
    =
    3
    y0

    ∴线段AB的垂直平分线的方程为y-y0=-
    y0
    3
    （x-2）．
    令y=0，得x=5，故C（5，0）为定点．
    又直线AB的方程为y-y0=
    3
    y0
    （x-2），与y2=6x联立，消去x得y2-2y0y+2
    y
    2
    0
    -12=0．
    由韦达定理得y1+y2=2y0，y1y2=2
    y
    2
    0
    -12．
    ∴|AB|=
    2
    3
    (9+y
    2
    0
    )(12-
    y
    2
    0
    )

    ∵点C到直线AB的距离为h=|CM|=
    9+y
    2
    0

    ∴S△ABC=
    1
    2
    |AB|h=
    1
    3
    (9+y
    2
    0
    )2(12-
    y
    2
    0
    )

    令t=9+
    y
    2
    0
    （t＞9），则12-
    y
    2
    0
    =21-t
    设f（t）=（9+
    y
    2
    0
    ）2（12-
    y
    2
    0
    ）=t2（21-t）=-t3+21t2，∴f′（t）=-3t（t-14）
    当9＜t＜14时，f′（t）＞0；当t＞14时，f′（t）＜0．
    ∴f（t）在（9，14）上单调递增，在（14，+∞）上单调递减．
    ∴当t=14时，[f（t）]max=142×7．故△ABC面积的最大值为
    14
    3
    		7
    ．（13分）
    点评：本题考查抛物线的定义，考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算及最值的求解，属于中档题．
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