Question

已知

π

2

＜β＜α＜

3π

4

，cos（α-β）=

12

13

，sin（α+β）=-

3

5

，求sin2α的值

 

．

Answer 1

分析：由α-β的余弦值和α、β角的范围求出α-β的正弦值，由α+β的正弦值和范围，求出α+β的余弦值，要求的结论2α的正弦值，把2α变化为（α-β）+（α+β）的正弦值求解．

解答：解：∵

π

2

＜β＜α＜

3π

4

，
∴-

3π

4

＜ -β＜-

π

2

∴0＜α-β＜

π

4

π＜α+β＜

3π

2

∴sin（α-β）=

5

13

cos（α+β）=-

4

5

∴sin2α=sin【（α-β）+（α+β）】=

5

13

×（-

4

5

）+

12

13

×（-

3

5

）=-

56

65

，
故答案为：-

56

65

点评：已知一个角的某个三角函数式的值，求这个角的其他三角函数式的值，一般需用三个基本关系式及其变式，通过恒等变形或解方程求解，本题是给值求值，但是本题主要考查角的变换，遇到这种问题我们一般整体处理题目条件，而不能分解．