Question

13．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的焦点到渐近线的距离为2，且双曲线的一条渐近线与直线x-2y+3=0平行，则双曲线的方程为（　　）

• A． $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}=1$
• B． $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{4}=1$
• C． $\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$
• D． ${x^2}-\frac{y^2}{4}=1$

Answer 1

分析 设右焦点为（ c，0 ），一条渐近线为x-2y=0，根据点到直线的距离公式$\frac{c}{\sqrt{5}}$=2，可得c=2$\sqrt{5}$，再根据c²=a²+b²，求出a，b，即可求出结果．

解答 解：设右焦点为（ c，0 ），一条渐近线为x-2y=0，
根据点到直线的距离公式$\frac{c}{\sqrt{5}}$=2，可得c=2$\sqrt{5}$，
∵$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，c²=a²+b²，解得b=2，a=4，
所以双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
故选A．

点评 本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．