Question

（2013•镇江二模）分别在曲线y=e^x与直线y=ex-1上各取一点M与N，则MN的最小值为

1+e2

1+e2

．

Answer 1

分析：欲求MN的最小值，我们先平移直线y=ex-1与曲线y=e^x相切，如图，则切线与直线y=ex-1间的距离即可所求的MN的最小值．利用直线平行斜率相等求出切线的斜率，再利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率求出切线斜率，列出方程解得切线的方程后利用平行线的距离公式求解即可．

解答：解：∵切线与直线y=ex-1平行，斜率为e，
设切点M（a，b），
又切线在点a的斜率为y′|_x=a=e^a，
∴e^a=e，∴a=1，
∴切点的坐标M（1，e），
∴切线方程为y-e=e（x-1），即ex-y=0；
又直线y=ex-1，即ex-y-1=0
∴d=

1

e2+1

=

1+e2

1+e2

．
则MN的最小值为

1+e2

1+e2

．
故答案为：

1+e2

1+e2

．

点评：本题考查导数的几何意义：导数在切点处的值是切线的斜率．属于基础题．