Question

已知A、B是双曲线C：

x2

4

-

y2

3

=1的左、右顶点，P是坐标平面上异于A、B的一点，设直线PA、PB的斜率分别为k₁，k₂．
求证：k₁k₂=

3

4

是P点在双曲线C上的充分必要条件．

Answer 1

分析：从充分性、必要性两方面进行证明即可．

解答：证明：设P（x₀，y₀），易知A （-2，0），B （2，0）
（1）充分性：由k₁k₂=

3

4

知：

y0

x0+2

×

y0

x0-2

=

3

4

，
所以3x02-4y02=12，即

x02

4

-

y02

3

=1，
故点P在双曲线

x2

4

-

y2

3

=1上；
（2）必要性：因为点P在双曲线C上，
所以

x02

4

-

y02

3

=1，故y02=

3

4

(x02-4)
由已知x₀≠±2，故k₁k₂=

y0

x0+2

×

y0

x0-2

=

y02

x02-4

=

3

4

综上（1）（2）知k₁k₂=

3

4

是P点在双曲线C上的充分必要条件．

点评：本题考查充要性的证明，需从充分性、必要性两方面进行证明．