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设A、B分别为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右两个顶点,P为双曲线上一点, |AB|=|BP|=4,

∠PAB=30°.

(1)求双曲线的方程;

(2)设M为(1)中双曲线上任一动点,过B点作直线l1,使得l1⊥BM,过A点作直线l2,使得l2⊥AM,l1、l2相交于点N,求点N的轨迹方程.

解:(1)∵|AB|=4,

∴2a=4,即a=2.

过P点作PC⊥x轴,C为垂足.

在△ABP中,

∵|AB|=|BP|=4,

∠PAB=30°,

∴∠PBC=2∠PAB=60°.

∴|PC|=|PB|·sin60°=2.

∴P(4,2).

又∵点P为双曲线上任意一点,则=1.

∴b2=4.

故所求双曲线的方程为-=1.

(2)设M(x0,y0)、N(x,y).∵A(-2,0)、B(2,0),

NB⊥MB,NA⊥MA,

由(1)×(2)得=1.                                              (3)

又∵M(x0,y0)在双曲线上,

=1.∴=1.代入(3)中,

=1,即x2-y2=4.

经检验点(-2,0)、(2,0)不符合题意.

故N点轨迹方程为x2-y2=4(x≠±2).


练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

设A、B分别为双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的左右顶点,双曲线的实轴长为4
3
,焦点到渐近线的距离为
3

(1)求双曲线的方程;
(2)已知直线y=
3
3
x-2
与双曲线的右支交于M、N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使
OM
+
ON
=t
OD
,求t的值及点D的坐标.

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(2)设M为(1)中双曲线上任一动点,过B点作直线l1,使得l1⊥BM,过A点作直线l2,使得l2⊥AM,l1、l2相交于点N,求点N的轨迹方程.

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x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的左右顶点,双曲线的实轴长为4
3
,焦点到渐近线的距离为
3

(1)求双曲线的方程;
(2)已知直线y=
3
3
x-2
与双曲线的右支交于M、N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使
OM
+
ON
=t
OD
,求t的值及点D的坐标.

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设A、B分别为双曲线的左右顶点,双曲线的实轴长为,焦点到渐近线的距离为
(1)求双曲线的方程;
(2)已知直线与双曲线的右支交于M、N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使,求t的值及点D的坐标.

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