Question

（2012•南京二模）记（1+

x

2

）（1+

x

22

）…（1+

x

2n

）的展开式中，x的系数为a_n，x²的系数为b_n，其中 n∈N^*．
（1）求a_n；
（2）是否存在常数p，q（p＜q），使b_n=

1

3

（1+

p

2n

）（1+

q

2n

） 对n∈N*，n≥2恒成立？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据多项式乘法运算法则，可得a_n=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

，利用等比数列的求和公式，可得结论；
（2）先计算b₂，b₃的值，代入b_n=

1

3

（1+

p

2n

）（1+

q

2n

），解得p=-2，q=-1，再用数学归纳法证明．

解答：解：（1）根据多项式乘法运算法则，得a_n=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

=1-

1

2n

．…（3分）
（2）计算得b₂=

1

8

，b₃=

7

32

．
代入b_n=

1

3

（1+

p

2n

）（1+

q

2n

），解得p=-2，q=-1． …（6分）
下面用数学归纳法证明b_n=

1

3

（1-

1

2n-1

）（1-

1

2n

）=

1

3

-

1

2n

+

2

3

×

1

4n

 （n≥2）：
①当n=2时，b₂=

1

8

，结论成立．
②设n=k时成立，即b_k=

1

3

-

1

2k

+

2

3

×

1

4k

．
则当n=k+1时，b_k+1=b_k+

ak

2k+1

=

1

3

-

1

2k

+

2

3

×

1

4k

+

1

2k+1

-

1

22k+1

=

1

3

-

1

2k+1

+

2

3

×

1

4k+1

．
由①②可得结论成立．　　　                …（10分）

点评：本题考查展开式的系数，考查数学归纳法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．