Question

甲乙两地需修建一条240公里的高速公路，该段高速公路两端的收费站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的收费站之间修路面和等距离修建安全出口．经预算，修建一个安全出口的工程费用为400万元．铺设距离为x公里的相邻两安全出口之间的道路费用为x²+x万元．设余下工程的总费用为y万元．
（1）试将y表示成关于x的函数；
（2）需要修建多少个安全出口才能使y最小，其最小值为多少万元？

Answer 1

分析：（1）先设需要修建k个增压站，列出余下工程的总费用的函数表达式，再结合自变量x的实际意义：x表示相邻两增压站之间的距离，确定出函数的定义域即可．
（2）依据（1）中得出的函数表达式，结合基本不等式即可求得函数y的最大值，最后回到原实际问题进行解答即可．

解答：解：（1）设需要修建k个增压站，则（k+1）x=240，即k=

240

x

-1．
所以y=400k+（k+1）（x²+x）=

96000

x

+240x-160．
因为x表示相邻两增压站之间的距离，则0＜x≤240．
故y与x的函数关系是y=

96000

x

+240x-160（0＜x≤240）．
（2）y=

96000

x

+240x-160≥2

96000 x ×240x

-160=2×4800-160=9440．
当且仅当

96000

x

=240x，即x=20时取等号．此时，k=

240

x

-1=11．
故需要修建11个增压站才能使y最小，其最小值为9440万元．

点评：本题考查解函数在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．