Question

15．已知函数f（x）=xln x-a（x-1），其中a∈R，求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值．

Answer 1

分析 求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数f（x）的单调区间，从而求出函数f（x）在[1，e]的最小值即可．

解答 解：f'（x）=lnx+1-a，令f'（x）=0，∴x=e^a-1，
∴f（x）在区间（0，e^a-1）单调递减，在区间（e^a-1，+∞）单调递增，
∴f（x）_min=f（1）=0；
当e^a-1≤1即a≤1时，f（x）在区间[1，e]上单调递增，
1＜e^a-1＜e即1＜a＜2时，f（x）在[1，e^a-1）递减，在（e^a-1，e]递增，
∴$f{（x）_{min}}=f（{e^{a-1}}）=a-{e^{a-1}}$，
当e^a-1≥e即a≥2时，f（x）在[1，e]递减，
∴f（x）_min=f（e）=a+e-ae，
综上：当a≤1时，f（x）的最小值为0，
 当1＜a＜2时，f（x）的最小值为a-e^a-1；
当a≥2时，f（x）的最小值为a+e-ae．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．