Question

如图，三条直线a、b、c两两平行，直线a、b间的距离为p，直线b、c间的距离为

p

2

，A、B为直线a上的两个定点，且AB=2p，MN是在直线b上滑动的长度为2p的线段．
（1）建立适当的平面直角坐标系，求△AMN的外心C的轨迹E；
（2）当△AMN的外心C在E上什么位置时，使d+BC最小？最小值是多少？（其中，d为外心C到直线c的距离）

Answer 1

分析：（1）以直线b为 x轴，以过点A且与b直线垂直的直线为y轴，建立直角坐标系，设出外心坐标，利用距离相等列出方程即可求解△AMN的外心C的轨迹E；
（2）直线c是轨迹E的准线，推出d=|CF|，F是抛物线的焦点，通过d+|BC|=|CF|+|BC|，由两点距离可知直线段最短，联立y=

1

4

x+

1

2

p，与x²=2py，即可求出C的坐标，求出最小值．

解答：解：以直线b为 x轴，以过点A且与b直线垂直的直线为y轴，建立直角坐标系，
由题意A（0，p），设△AMN的外心C（x，y），则M（x-p，0）N（x+p，0），
由题意有|CA|=|CM|．∴

x2+(y-p)2

=

(x-x+p)2+y2

，
解得x²=2py，它是以原点为顶点、y轴为对称轴、开口向上的抛物线．
（2）不难得到，直线c是轨迹E的准线，由抛物线的定义可知，d=|CF|，
其中F（0.

p

2

），是抛物线的焦点，
所以d+|BC|=|CF|+|BC|，
由两点距离可知直线段最短，
线段BF与轨迹E的交点就为所求的使d+|BC|最小点，
由两点式方程可求直线BF的方程为：y=

1

4

x+

1

2

p，与x²=2py联立，
得C（

1

4

p(1+

17

)，

9+ 17

16

p）．
故当△AMN的外心C在E上
C（

1

4

p(1+

17

)，

9+ 17

16

p）时，d+|BC|最小，
最小值|BF|=

17

2

p．

点评：本题考查轨迹方程的求法，距离的最小值的求解与应用，考查轨迹方程求法的一般步骤，转化思想的应用．