Question

设抛物线的方程为y²=8x，O为坐标原点，点A，B是抛物线上的点．如果OA⊥OB，求证：直线AB必过定点，并求出定点坐标．

Answer 1

解：当斜率k不存在时，由题设条件知A（x，x），B（x，-x），
∴x²=8x，∴A（8，8），B（8，-8），
AB方程为x=8，过定点N（8，0）．…（2分）
当斜率k存在时，设AB方程为：y=kx+b，
由，消去x得：ky²-8y+8b=0，…（7分）
∴k≠0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由OA⊥OB，得x₁x₂+y₁y₂=0，
即+y₁y₂=0，
得y₁y₂=-64，
∴，即b=-8k．…（10分）
∴AB方程为：y=kx-8k=k（x-8）．…（12分）
∴AB方程恒过定点N（8，0）．…（14分）
分析：如果OA⊥OB，则OA，OB斜率都存在且互为负倒数，可设出其中一个斜率为k，则另一个斜率为-，这样，设出两直线方程，分别于抛物线方程联立，解出A，B坐标，再求直线AB方程，看是否经过定点．
点评：本题考查了直线与抛物线的位置关系，证明直线AB必过定点时，要熟练掌握其中设而不求的解题思想．