Question

在数列{a_n}中，a₁=0，且对任意（k∈N*），a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等差数列，其公差为d_k．
（Ⅰ）若d_k=2k，证明a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等比数列（k∈N*）；
（Ⅱ）若对任意k∈N*，a_2k-1，a_2k，a2k+1成等比数列，其公比为q_k．
（i）设q₁≠1．证明{

1

qk-1

}是等差数列；
（ii）若a₂=2，证明

3

2

＜2n-

n

k=2

k2

ak

≤2（n≥2）

Answer 1

分析：（Ⅰ）观察已知条件可得a_2k+1-a_2k-1=2d_k=4k，利用累加法a_2k+1=a₁+（a₃-a₁）+（a₅-a₃）+…+（a_2k-1+a_2k-3）可求出a_2k+1
（Ⅱ）（i）（法一）由已知由a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等差数列，及a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等比数列，可得2a_2k=a_2k-1+a_2k+1，
分别用等差数列数列和等比数列的通项公式表示q_k，构造

1

qk-1

- 

1

qk-1-1

=d（d为常数）
（ii）由（i）可求数列qk=

k+1

k

，利用等比数列的条件可得

a2k+2

a2k

=qk2=(

k+1

k

) 2，从递推关系利用叠乘法求a_2k，a_2k+1再分n为奇偶求和
（法二）（i）利用a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等差及成等比的条件可表示d_k=a_2k+1-a_2k=a_2k（q_k-1），从而建立q_k+1q_k之间的递推关系，进行构造证明

1

qk-1

-

1

qk-1-1

=d（d为常数），从而得到数列{

1

qk-1

}是等差数列

解答：（Ⅰ）证明：由题设，可得a_2k+1-a_2k-1=4k，k∈N⁺．
所以a_2k+1-a₁=（a_2k+1-a_2k-1）+（a_2k-1-a_2k-3）+…+（a₃-a₁）=4k+4（k-1）+…+4×1
=2k（k+1）
由a₁=0，得a_2k+1=2k（k+1），从而a_2k=a_2k+1-2k=2k²，a_2k+2=2（k+1）²
于是

a2k+1

a2k

=

k+1

k

，

a2k+2

a2k+1

=

k+1

k

，所以

a2k+2

a2k+1

=

a2k+1

a2k

．
所以d_k=2k时，对任意k∈N⁺，a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等比数列．
（Ⅱ）证法一：（i）证明：由a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等差数列，及a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等比数列，
得2a2k=a2k-1+a2k+1，2=

a2k-1

a2k

+

a2k+1

a2k

=

1

qk-1

+qk
当q₁≠1时，可知q_k≠1，k∈N⁺
从而

1

qk-1

=

1

2- 1 qk-1 -1

=

1

qk-1-1

+1，即

1

qk-1

-

1

qk-1-1

=1(k≥2)
所以{

1

qk-1

}是等差数列，公差为1．
（ii）证明：a₁=0，a₂=2，可得a₃=4，
从而q1=

4

2

=2，

1

q1-1

=1．
由（Ⅰ）有

1

qk-1

=1+k-1=k，得qk=

k+1

k

，k∈N+
所以

a2k+2

a2k+1

=

a2k+1

a2k

=

k+1

k

，从而

a2k+2

a2k

=

(k+1)2

k2

，k∈N+
因此，a2k=

a2k

a2k-2

?

a2k-2

a2k-4

-

a4

a2

?a2=

k2

(k-1)2

?

(k-1)2

(k-2)2

-

22

12

?2=2k²，
a_2k+1=a2k?

k+1

k

=2k（k+1），k∈N⁺
以下分两种情况进行讨论：
当n为偶数时，设n=2m（m∈N⁺）
若m=1，则2n-

n

k=2

k2

ak

=2．
若m≥2，则

n

k=2

k2

ak

=

m

k=1

(2k)2

a2k

+

m-1

k=1

(2k+1)2

a2k+1

=

m

k=1

4k2

2k2

+

m-1

k=1

4k2+2k+1

2k(k+1)

=2m+

m-1

k=1

[

4k2+4k

2k(k+1)

+

1

2k(k+1)

]=2m+

m-1

k=1

[2+

1

2

(

1

k

-

1

k+1

)]=2m+2(m-1)+

1

2

(1-

1

m

)=2n-

3

2

-

1

n

所以2n-

n

k=2

k2

ak

=

3

2

+

1

n

，从而

3

2

＜2n-

n

k=2

k2

ak

＜2，n=4，6，8
（2）当n为奇数时，设n=2m+1（m∈N+）

n

k=2

k2

ak

=

2m

k=2

k2

ak

+

(2m+1)2

a2m+1

=4m-

3

2

-

1

2m

+

(2m+1)2

2m(m+1)

=4m+

1

2

-

1

2(m+1)

=2n-

3

2

-

1

n+1

所以2n-

n

k=2

k2

ak

=

3

2

+

1

n+1

，从而

3

2

＜2n-

n

k=2

k2

ak

＜2，n=3，5，7
综合（1）（2）可知，对任意n≥2，n∈N⁺，有

3

2

＜2n-

n

k=2

k2

ak

≤2

证法二：（i）证明：由题设，可得d_k=a_2k+1-a_2k=q_ka_2k-a_2k=a_2k（q_k-1）
d_k+1=a_2k+2-a_2k+1=q_k²a_2k-q_ka_2k=a_2kq_k（q_k-1）
所以d_k+1=q_kd_k
qk+1=

a2k+3

a2k+2

=

a2k+2+dk+1

a2k+2

=1+

dk+1

qk 2a2k

=1+

dk

qka2k

=1+

qk-1

qk

由q₁≠1可知q_k≠1，k∈N⁺．
可得

1

qk+1-1

-

1

qk-1

=

qk

qk-1

-

qk

qk-1

=1，
所以{

1

qk-1

}是等差数列，公差为1．
（ii）证明：因为a₁=0，a₂=2所以d₁=a₂-a₁=2．
所以a₃=a₂+d₁=4，从而q1=

a3

a2

=2，

1

q1-1

=1．
于是，由（i）可知所以{

1

qk-1

}是公差为1的等差数列．
由等差数列的通项公式可得

1

qk-1

=1+（k-1）=k，
故qk=

k+1

k

．
从而

dk+1

dk

=qk=

k+1

k

．
所以

dk

d1

= 

dk

dk-1

•

dk-1

dk-2

…

d2

d1

=

k

k-1

• 

k-1

k-2

…

2

1

=k
由d₁=2，可得d_k=2k．
于是，由（i）可知a_2k+1=2k（k+1），a_2k=2k²，k∈N⁺
以下同证法一．

点评：本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．