Question

如图，四面体ABCD中，E为AD中点，若AC=CD=DA=8，AB=BD=5，BC=7，求BE与CD所成角的余弦值．

Answer 1

分析：取AC中点F，连结BF、EF，由三角形中位线定理证出∠BEF（或补角）就是BE与CD所成角．利用解三角形的知识，算出△BEF中的各边长，利用余弦定理加以计算，即可得到BE与CD所成角的余弦值．

解答：解：取AC中点F，连结BF、EF
∵EF为△ACD的中位线，
∴EF

∥

.

1

2

CD，可得∠BEF（或补角）就是BE与CD所成角
∵△ABC中，AB=5，BC=7，AC=8．
∴中线BF满足4BF²+AC²=2（BC²+AB²），即4BF²+64=2（49+25），
解之得BF=

21

∵△ABD中，AB=BD=5，DA=8
∴BE=

AB2-AE2

=

25-16

=3
在△BEF中，cos∠BEF=

BE2+EF2-BF2

2•BE•EF

=

1

6

即BE与CD所成角的余弦值等于

1

6

．

点评：本题在特殊三棱锥中求异面直线所成角的余弦．着重考查了三角形中位定理、解三角形和异面直线所成角的定义及其求法等知识，属于中档题．