Question

【题目】已知平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为，设点．

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）若是椭圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程；

（3）过原点的直线交椭圆于两点，求面积的最大值，并求此时直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）面积的最大值为，

【解析】

试题（1）利用椭圆的标准方程及其性质即可得出；（2）分别设点P，线段PA的中点M（x，y）．利用中点坐标公式及“代点法”即可得出；（3）对直线BC的斜率分存在于不存在两种情况讨论，当直线BC的斜率存在时，把直线BC的方程与椭圆的方程联立，解得点B，C的坐标，利用两点间的距离公式即可得出|BC|，再利用点到直线的距离公式即可得出点A到直线BC的距离，利用三角形的面积计算公式即可得出，再利用导数得出其最值

试题解析：（1）设椭圆的方程为

由题意可知：，

故

所以椭圆的方程为：

（2）设，则有：

①

又因为：②

将②代入①得到点的轨迹方程：

（3）当直线的斜率不存在时，

当斜率存在时，设其方程为：设

由

不妨设，则

设点到直线的距离为，则：

=

当时，

当时，

上式当且仅当时，等号成立

综上可知，面积的最大值为，此时直线的方程为：