Question

已知，
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）的最大值，并求取得最大值时的x的值．

Answer 1

解：（1）由，
得2x+3-x²＞0，解得-1＜x＜3，
设t=2x+3-x²，
∵t=2x+3-x²在（-1，1]上单调增，在[1，3）上单调减，
而y=log₄t在R上单调增，
∴函数f（x）的增区间为（-1，1]，减区间为[1，3）．
（2）令t=2x+3-x²，x∈（-1，3），
则t=2x+3-x²=-（x-1）²+4≤4，
∴f（x）=≤log₄4=1，
∴当x=1时，f（x）取最大值1．
分析：（1）由，先求出其定义域，再利用复合函数的单调性的性质，能求出函数f（x）的单调区间．
（2）令t=2x+3-x²，x∈（-1，3），则t=2x+3-x²=-（x-1）²+4≤4，由此能求出函数f（x）的最大值，并求取得最大值时的x的值．
点评：本题考查对数函数的单调区间和最大值的求法，解题时要认真审题，注意换元法和配方法的合理运用．