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    （本小题满分13分）

    已知数列满足：.

    （1）求数列的通项公式；

    （2）证明：

     

    （1）；（2）详见解析.

    【解析】

    试题分析：（1）根据条件中的等式，可以考虑采用累加法来求的通项公式：，在累加的过程中还需利用常见的数列求和结论，，结合裂项相消法求和即可求得；（2）由（1）可知，从通项公式的结构特征上可以考虑利用裂项相消法来求的前项和，从而证明不等式：

    ，

    根据，从而.

    试题解析：（1）∵，∴， 2分

    ∴当时，， 5分

    ，

    当是，也符合，∴数列的通项公式为； 8分

    （2）∵， 10分

    又∵，

    ∴. 13分

    考点：1.数列的通项公式及求和综合；2.与数列有关的不等式证明.

     

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