Question

（2011•蓝山县模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=

2

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AD．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：PA⊥平面PCD．

Answer 1

分析：（1）证明：连接AC，则F是AC的中点，E为PC 的中点，证明EF∥PA，留言在线与平面平行的判定定理证明EF∥平面PAD；
（2）先证明CD⊥PA，然后证明PA⊥PD．利用直线与平面垂直的判定定理证明PA⊥平面PCD．

解答：解：（1）证明：连接AC，则F是AC的中点，E为PC 的中点，
所以在△CPA中，EF∥PA，且PA?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD；
（2）证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，
∴CD⊥PA，
又PA=PD=

2

2

AD，所以△PAD是等腰三角形，
且∠APD=

π

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，即PA⊥PD．
又CD∩PD=D，
∴PA⊥平面PCD．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定的应用，考查逻辑推理能力．