Question

在棱长为的正四面体的外接球中，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的圆心距为，则两圆的公共弦长是（ ）
A．
B．
C．1
D．

Answer 1

【答案】分析：正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角线长就是球的直径，求出半径，再从三个圆心上找关系，构建矩形利用对角线相等即可求解出答案．
解答：解：正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，
正方体的对角线长就是球的直径，正方体的棱长为：1；对角线长为：，
所以球的半径为：R=，
设相互垂直两圆的圆心分别为O₁、O₂，球心为O，公共弦为AB，其中点为E，
则OO₁EO₂为矩形，于是对角线O₁O₂=OE，
而 ，
∴AE=
故选D．
点评：考查两平面垂直的性质，正四面体的外接球，球的体积的求法，本题的突破口在正四面体转化为正方体，外接球是同一个球，考查计算能力，空间想象能力．