Question

如图所示，设点F坐标为 （1，0 ），点P在y轴上运动，点M在x轴运动上，其中

PM

•

PF

=0，若动点N满足条件

PN

=

MP

（Ⅰ）求动点N的轨迹E的方程；
（Ⅱ）过点F（1，0 ）的直线l和l′分别与曲线E交于A、B两点和C、D两点，若l⊥l′，试求四边形ACBD的面积的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意设出M，N，P的坐标，求出所用向量的坐标，联立

PM

•

PF

=0与

PN

=

MP

，消掉M，P的坐标可得N点的轨迹方程；
（Ⅱ）设出直线l的方程，和抛物线方程联立后由弦长公式得到|AB|，设出直线l′的方程，可抛物线联立后由弦长公式求出|CD|，代入四边形面积公式后利用基本不等式求最值．

解答：（Ⅰ）设N（x，y ），M （x₀，0），P （0，y₀），F（1，0 ），
则

PM

=（x₀，-y₀），

PN

=（x，y-y₀），

PF

=(1，-y0)，
由

PM

•

PF

=0，得x₀+y02=0      ①
由

PN

=

MP

，得

PN

+

PM

=0，得（x+x₀，y-2y₀）=0，即

x+x0=0 y-2y0=0

，∴

x0=-x y0= y 2

．
代入①得，y²=4x即为所求；
（Ⅱ）设l方程为y=k（x-1），由

y2=4x y=k(x-1)

，消去x，得y²-

4

k

-4=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁y₂=-4，y1+y2=

4

k

，于是
|AB|=

1+ 1 k2

|y1-y2|=

(1+ 1 k2 )[(y1+y2)2-4y1y2]

=

(1+ 1 k2 )( 16 k2 +16)

=4+

4

k2

，
设l′的方程为y=-

1

k

(x-1)，由

y2=4x y=- 1 k (x-1)

，消去x，得y²+4ky-4=0．
设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），则y₃y₄=4，y₃+y₄=-4k．
∴|CD|=

1+k2

|y3-y4|=

(1+k2)[(y3+y4)2-4y3y4]

．
∴|CD|=4+

4

(- 1 k )2

=4+4k2．
于是SABCD=

1

2

|AB|•|CD|=

1

2

(4+

4

k2

)(4+4k2)
=8(2+k2+

1

k2

)≥8(2+2

k2• 1 k2

)=32．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，训练了平面向量的数量积运算，考查了弦长公式的应用及利用基本不等式求最值，关键是能够正确写出对角线互相垂直的四边形的面积，属中高档题．