Question

定义区间（c，d），[c，d），（c，d]，[c，d]的长度均为d-c（d＞c）已知实数a＞b，则满足

1

x-a

+

1

x-b

≥1的x构成的区间的长度之和为（　　）

• A、1
• B、

  a-b

  2

• C、a+b
• D、2

Answer 1

分析：元不等式即 

x2-(2+a+b)x+ab+a+b

(x-a)(x-b)

≤ 0，设 x²-（2+a+b）x+ab+a+b=0 的根为 x₁和x₂，则由求根
公式可得这两个根的值，结合数轴，用穿根法来解的不等式的解集，从而求得解集构成的区间的长度之和．

解答：解：∵

1

x-a

+

1

x-b

≥1，实数a＞b，∴

2x-(a+b)

(x-a)(x-b)

≥1，
即

x2-(2+a+b)x+ab+a+b

(x-a)(x-b)

≤ 0，
设 x²-（2+a+b）x+ab+a+b=0 的根为 x₁和x₂，则由求根公式可得，
x₁=

a+b+2- (a-b)2+4

2

∈（b，a），
x₂=

a+b+2+ (a-b)2+4

2

＞a，
把不等式的根排在数轴上，用穿根法求得不等式的解集为（b，x₁）∪（a，x₂ ），
故解集构成的区间的长度之和为 （x₁-b）+（x₂-a ）
=（x₁+x₂ ）-a-b=（a+b+2）-a-b=2，
故选 D．

点评：本题考查分式不等式的解法，用穿根法解分式不等式和高次不等式，求出x₁和x₂，是解题的关键，属于中档题．