【题目】已知椭圆的两个焦点分别为
,
,
,过点
的直线与椭圆相交于点A,B两点,且
(1)若,求椭圆的方程;
(2)直线AB的斜率;
(3)设点C与点A关于坐标原点对称,直线上有一点
在
的外接圆上,求
的值.
【答案】(1)(2)
(3)
【解析】
(1) 由已知可得,且
,得B是A和E的中点,即可求出椭圆方程;(2) 方法一:由题意知椭圆的方程可写为
设直线
的方程,设
,
则它们的坐标满足方程组,整理得
再由根的判别式和根与系数的关系求解;方法二:设直线
的方程为
,代C入
,消去x整理,得
, 再由根的判别式和根与系数的关系求解;(3)由(1) 可得
,设椭圆方程为
,得A(0,
),C(0,
),写出线段AF1 的垂直平分线l的方程,得到△AF1C外接圆的圆心.求得外接圆的方程为
.再求出直线F2B的方程为y
(x﹣c),于是点H(m,n)的坐标满足方程组:
,由此可得
的值.同理分析得到另一种情况下的
的值.
(1)由,得
,
从而,整理得
,
.
(2)解法1:由(1)知,,所以椭圆的方程可以写为
设直线AB的方程为即
,
由已知设则它们的坐标满足方程组
,
消去y整理,得,
依题意,
而①,
②由题设知,点B为线段AE的中点,
所以③,
联立①②③,解得,将结果代入韦达定理中解得
.
解法2:由(1)知,,所以椭圆的方程可以写为
,
设直线AB的方程为,即
,代入
消去x整理,得,
所以,
有题设知,点B为线段AE的中点,所以,所以
,
即,
得,
解得:,代入检验
成立,
从而直线AB的斜率.
(3)由(2)知,,当
时,得A
由已知得
线段的垂直平分线l的方程为
直线l与x轴的交点
是
的外接圆的圆心,因此外接圆的方程为
直线的方程为
,于是点
满足方程组
由,解得
,故
当时,同理可得
.
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【题目】已知表示不小于x的最小整数,例如
.
(1)设,
,若
,求实数m的取值范围;
(2)设,
在区间
(
)上的值域为
,求集合
中元素的个数;
(3)设(
),
,若对于
,
,都有
,求实数a的取值范围.
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【题目】已知平面直角坐标系,以
为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的参数方程为
(
为参数),点
时曲线
上两点,点
的极坐标分别为
,
.
(1)写出曲线的普通方程和极坐标方程;
(2)求的值.
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【题目】在直角坐标系中,圆
的普通方程为
.在以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线
的极坐标方程为
.
(1)写出圆的参数方程和直线
的直角坐标方程;
(2)设点在
上,点Q在
上,求
的最小值及此时点
的直角坐标.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PCD,
,
,
,E为AD的中点,AC与BE相交于点O.
(1)证明:平面ABCD.
(2)求直线BC与平面PBD所成角的正弦值.
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【题目】已知数列的首项
,对任意的
,都有
,数列
是公比不为
的等比数列.
(1)求实数的值;
(2)设数列
的前
项和为
,求所有正整数
的值,使得
恰好为数列
中的项.
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【题目】设集合由满足下列两个条件的数列
构成:①
②存在实数
使
对任意正整数
都成立.
(1)现在给出只有5项的有限数列其中
;
试判断数列
是否为集合
的元素;
(2)数列的前
项和为
且对任意正整数
点
在直线
上,证明:数列
并写出实数
的取值范围;
(3)设数列且对满足条件②中的实数
的最小值
都有
求证:数列
一定是单调递增数列.
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