Question

9．已知$f（x）=a•{log_2}（{\sqrt{{x^2}+1}+x}）+\frac{{b•\sqrt{4-{x^2}}}}{{|{x+3}|-3}}+e$（a，b为常数，e为自然对数的底），且f（lg（log_πe））=π，则f（lg（lnπ））=2e-π．

Answer 1

分析 化简可得0＜lg（lnπ）＜1，lg（log_πe）=-lg（lnπ）；可判断f（x）-e在（-3，0）∪（0，3）上是奇函数，从而解得．

解答 解：∵1＜lnπ＜2，
∴0＜lg（lnπ）＜1，
∵lg（log_πe）=-lg（lnπ），
∵当x∈（-3，0）∪（0，3）时，
f（-x）-e=alog₂（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）-$\frac{b\sqrt{4-{x}^{2}}}{x}$
=-alog₂（$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x）-$\frac{b\sqrt{4-{x}^{2}}}{x}$=-（f（x）-e），
∴f（x）-e在（-3，0）∪（0，3）上是奇函数，
∵f（lg（log_πe））=π，
∴f（lg（log_πe））-e=π-e，
∴f（lg（lnπ））-e=e-π，
即f（lg（lnπ））=2e-π，
故答案为：2e-π．

点评 本题考查了函数的奇偶性的判断与应用，注意构造函数f（x）-e在（-3，0）∪（0，3）上是奇函数．