Question

在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x、y，设O为坐标原点，点P的坐标为(x-2，x-y)，记ξ=|

OP

|2．
（I）求事件“ξ取值为5”的概率；
（II）求ξ所有可能取值及各取值对应的概率．

Answer 1

分析：（I）由题设知x，y可能的取值为1，2，3，当x=1，y=3，或x=3，y=1时，ξ=5，有放回地先后抽得两张卡片的所有情况有×3=9种，由此能求出事件“ξ取值为5”的概率．
（Ⅱ）由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，5，ξ=0时，只有x=2，y=2这一种情况，ξ=1时，有x=1，y=1或x=2，y=1，或x=2，y=3，或x=3，y=3四种情况，ξ=2时，有x=1，y=2，或x=3，y=2两种情况，由此能求出ξ取值分别取0，1，2，5各值时，对应的概率．

解答：解：（I）∵x，y可能的取值为1，2，3，
∴|x-2|≤1，|y-x|≤2，
ξ=（x-2）²+（x-y）²≤5，
且当x=1，y=3，或x=3，y=1时，ξ=5，
∴事件“ξ取值为5”包含2种情况，
∵有放回地先后抽得两张卡片的所有情况有×3=9种，
∴事件“ξ取值为5”的概率p=

2

9

．
（Ⅱ）由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，5，
它们对应的概率分别记为p₀，p₁，p₂，p₅，
ξ=0时，只有x=2，y=2这一种情况，
ξ=1时，有x=1，y=1或x=2，y=1，或x=2，y=3，或x=3，y=3四种情况，
ξ=2时，有x=1，y=2，或x=3，y=2两种情况，
∴ξ取值分别取0，1，2，5各值时，对应的概率分别为：
p0=

1

9

，p1=

4

9

，p2=

2

9

，p5=

2

9

．

点评：本题考查概率的求法，是中档题．解题时要认真审题，仔细分析离散型随机变量ξ的可能取值及取每个值时所包含的情况有几种，注意既不能重复，又不能遗漏．