Question

在一条公路上，每隔100km有个仓库（如图），共有5个仓库．一号仓库存有10t货物，二号仓库存20t，五号仓库存40t，其余两个仓库是空的．现在想把所有的货物放在一个仓库里，如果每吨货物运输1km需要0.5元运输费，那么要多少才行？

Answer 1

解：以一号仓库为原点建立坐标轴，
则五个点坐标分别为A₁：0，A₂：100，A₃：200，A₄：300，A₅：400，
设货物集中于点B：x，则所花的运费y=5|x|+10|x-100|+20|x-200|，
当0≤x≤100时，y=-25x+9000，此时，当x=100时，y_min=6500；
当100＜x＜200时，y=-5x+7000，此时，5000＜y＜6500；
当x≥200时，y=35x-9000，此时，当x=200时，y_min=5000．
综上可得，当x=200时，y_min=5000，
即将货物都运到五号仓库时，花费最少，为5000元．
分析：要求把所有的货物放在一个仓库里运费最少，其实就是要求运输的总路程最少．先把实际问题转化为数学问题，以一号仓库为原点建立坐标轴，表示五个仓库的坐标，然后假设货物集中于某一点坐标设为x，利用绝对值的意义表示出总运费y．然后根据x的取值范围化简绝对值得到y与x的分段函数，分别求出各段的最小值，最后比较去最小得解．
点评：此题考查学生的数学建模思想，用数学解决实际问题的能力．分情况讨论求最值的方法以及绝对值的意义和绝对值的化简方法．