Question

某公司经销某产品，第x天（1≤x≤30，x∈N^*）的销售价格为p=a+|x-20|（a为常数）（元∕件），第x天的销售量为q=50-|x-16|（件），且公司在第18天该产品的销售收入为2016元．
（1）求该公司在第20天该产品的销售收入是多少？
（2）这30天中该公司在哪一天该产品的销售收入最大？最大收入为多少？

Answer 1

分析：（1）设第x天的销售收入为W_x，先求出第18天的销售价格p与销售量q，得第18天的销售收入W₁₈=pq=2016，可得a的值，从而求得第20天的销售收入W₂₀=p₂₀•q₂₀；
（2）根据W_x=pq=（a+|x-20|）（50-|x-16|），去掉绝对值，分别在1≤x≤16时，17≤x≤20时，21≤x≤30时求得函数W_x的最大值，并通过比较得出，第几天该公司的销售收入最大．

解答：解：（1）设第x天的销售收入为W_x，
∵第18天的销售价格p=a+|18-20|=a+|18-20|=a+2，销售量q=50-|18-16|=48，
∴第18天的销售收入W₁₈=pq=48×（a+2）=2016（元），解得：a=40，
∴p=40+|x-20|，q=50-|x-16|，
∴第20天的销售收入为W₂₀=p₂₀•q₂₀=40×46=1840（元）；
（2）设第x天的销售收入为W_x，
当1≤x≤16时，W_x=（60-x）（34+x）≤[

(60-x)+(34+x)

2

]2=2209（当且仅当x=13时取等号），
∴当x=13时有最大值W₁₃=2209；
当17≤x≤20时，W_x=（60-x）（56-x）=x²-116x+3360=（x-58）²-4，
∴当x=17时有最大值W₁₇=1677；
当21≤x≤30时，W_x=（x+20）（56-x）=-x²+36x+1120=-（x-18）²+1444，
∴当x=21时有最大值W₂₁=1435；
由于W₁₃＞W₂₁＞W₁₇，所以，第13天该公司的销售收入最大，最大值为2209元．

点评：本题考查了含有绝对值的函数模型的应用；含有绝对值的函数，通常转化为分段函数来解答，本题是中档题目．