Question

已知P为椭圆9x²+2y²=18上任意一点，由P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在线段PQ上，且，设点M的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=x+m与曲线E有两个不同的交点A、B，且，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）先设出点P以及M的坐标，求出，；再结合，即可把点P的坐标用点M的坐标表示出来；最后把点P的坐标代入椭圆方程即可求出曲线E的方程；
（Ⅱ）联立直线方程与曲线E的方程可得点A、B坐标与m之间的关系；再结合，即可求出实数m的取值范围（注意须满足直线一定与曲线E相交）．
解答：解：（I）设点P（x，y）是椭圆上一点，
则Q（x，0），M（x，y），，．
∵，（1分）
∴
∴即点P的坐标为（x，3y）．（3分）
点P在椭圆上，代入椭圆方程得：9x²+18y²=18．
即曲线E的方程为x²+2y²=2．（5分）
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线方程y=x+m与9x²+18y²=18联立
去y，得3x²+4mx+2m²-2=0．
由△=（4m）²-12（2m²-2）＞0，解得0≤m²＜3．
，．（7分）
由得．
 而x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁+m）•（x₂+m）
=2x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²==（10分）
∴，即m²＞2，又0≤m²＜3，
∴2＜m²＜3．
∴实数m的取值范围是．（12分）
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系．本题的易错点在于：忘记直线一定与圆锥曲线相交这一限制条件，从而得到错误结论．