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    用数学归纳法证明关于n的恒等式时，当n=k时，表达式为1×4+2×7+…+k（3k+1）=k（k+1）2，则当n=k+1时，待证表达式应为
    1×4+2×7+…+k（3k+1）+（k+1）（3k+4）=（k+!）（k+2）2
    1×4+2×7+…+k（3k+1）+（k+1）（3k+4）=（k+!）（k+2）2
    ．
    分析：数学归纳法证明n=k+1的待证表达式，可以利用n=k时的表达式写出即可．
    解答：解：因为证明关于n的恒等式时，当n=k时，表达式为1×4+2×7+…+k（3k+1）=k（k+1）2，
    则当n=k+1时，待证表达式应为：
    1×4+2×7+…+k（3k+1）+（k+1）（3k+4）=（k+!）（k+2）2．
    故答案为：1×4+2×7+…+k（3k+1）+（k+1）（3k+4）=（k+!）（k+2）2．
    点评：本题考查数学归纳法的应用，基本知识的考查．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知：函数f(x)=-
    1
    6
    x3+
    1
    2
    x2+x    ，x∈R．
    （Ⅰ）求证：函数f（x）的图象关于点A(1，
    4
    3
    )    中心对称，并求f（-2007）+f（-2006）+…+f（0）+f（1）+…+f（2009）的值．
    （Ⅱ）设g（x）=f′（x），an+1=g（an），n∈N+，且1＜a1＜2，求证：
    （ⅰ）请用数学归纳法证明：当n≥2时，1＜an＜
    3
    2
    ；
    （ⅱ）|a1-
    		2
    |+|a2-
    		2
    |+…+|an-
    		2
    |＜2    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    某学生在观察正整数的前n项平方和公式即12+22+32+…+n2=
    n(n+1)(2n+1)
    6
    ，n∈N*时发现它的和为关于n的三次函数，于是他猜想：是否存在常数a，b，1•22+2•32+…+n（n+1）2=
    n(n+1)(n+2)(an+b)
    12
    ．对于一切n∈N*都立？
    （1）若n=1，2 时猜想成立，求实数a，b的值．
    （2）若该同学的猜想成立，请你用数学归纳法证明．若不成立，说明理由．

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    科目：高中数学 来源：2010-2011年辽宁省东北育才学校高二下学期期中考试文科数学 题型：解答题

    （本小题满分12分）

    关于的函数与数列具有关系：， (为常数)，

    (=1,2,3,…)，又已知函数的导数，为方程的实根.

    （I）用数学归纳法证明：；

    （II）证明：.

     

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    科目：高中数学 来源：2010-2011年辽宁省高二下学期期中考试理科数学 题型：解答题

    (本小题满分12分)

    关于的函数与数列具有关系：

    ,(=1,2,3,…)(为常数)，又设函数的导数，为方程的实根.

    （I）用数学归纳法证明：；

    （II）证明：.

     

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