Question

已知函数在处存在极值．
（1）求实数a，b的值；
（2）函数y=f（x）的图象上存在两点A，B使得△AOB是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形，且斜边AB的中点在y轴上，求实数c的取值范围；
（3）当c=e时，讨论关于x的方程f（x）=kx（k∈R）的实根的个数．

Answer 1

解（1）当x＜1时，f′（x）=-3x²+2ax+b．（1分）
因为函数f（x）在x=0，x=处存在极值，所以解得a=1，b=0．（3分）
（2）由（1）得f（x）=，
根据条件知A，B的横坐标互为相反数，不妨设A（-t，t³+t²），B（t，f（t）），（t＞0）．
若t＜1，则f（t）=-t³+t²，
由∠AOB是直角得，•=0，即-t²+（t³+t²）（-t³+t²）=0，
即t⁴-t²+1=0．此时无解； （5分）
若t≥1，则f（t）=c（e^t-1-1）．由于AB的中点在y轴上，且∠AOB是直角，所以B点不可能在x轴上，即t≠1．
由•=0，即-t²+（t³+t²）•c（e^t-1-1）=0，得c=．
因为函数y=（t+1）（e^t-1-1）在t＞1上的值域是（0，+∞），
所以实数c的取值范围是（0，+∞）．（7分）
（3）由方程f（x）=kx，知kx=，可知0一定是方程的根，（8分）
所以仅就x≠0时进行研究：方程等价于k=，
构造函数g（x）=，
对于x＜1且x≠0部分，函数g（x）=-x²+x的图象是开口向下的抛物线的一部分，
当x=时取得最大值，其值域是（-∞，0）∪（0，）；
对于x≥1部分，函数g（x）=，由g′（x）=＞0，知函数g（x）在（1，+∞）上单调递增．
所以，①当k＞或k≤0时，方程f（x）=kx有两个实根；
②当k=时，方程f（x）=kx有三个实根；
③当0＜k＜时，方程f（x）=kx有四个实根．（14分）
分析：（1）当x＜1时，f′（x）=-3x²+2ax+b，依题意，由可求实数a，b的值；
（2）由（1）可求得f（x）=，依题意A，B的横坐标互为相反数，不妨设A（-t，t³+t²），B（t，f（t）），（t＞0）．分t＜1与t≥1讨论，利用∠AOB是直角，•=0，即可求得实数c的取值范围；
（3）由方程f（x）=kx，知kx=，可知0一定是方程的根，x≠0，方程等价于k=，构造函数g（x）=，
分x＜1且x≠0与x≥1两类讨论，即可确定f（x）=kx（k∈R）的实根的个数．
点评：本题考查利用导数研究函数的极值，考查根的存在性及根的个数判断，突出分类讨论思想、等价转化思想及创新思维与逻辑思维能力的考查，属于难题．