Question

已知函数．
（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若对任意的，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）当a=2时，f（x）=，定义域为（-，+∞）．
f′（x）=2x-2+=2x-2+=．
由f′（x）＞0，得，或x＞；由f′（x）＜0，得0＜x＜．
所以函数f（x）的单调递增区间为（，0），（，+∞），单调递减区间为（0，）．
（2）y=f（x）的定义域为（-，+∞）．
f′（x）=2x-a+=2x-a+==．
当1＜a＜2时，-1==＜0，即，
所以当1＜x＜2时，f′（x）＞0，f（x）在[1，2]上单调递增，
所以f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=1-a+ln（）．
依题意，对任意的a∈（1，2），当x₀∈[1，2]时，都有f（x₀）＞m（1-a²），
即可转化为对任意的a∈（1，2），1-a+ln（）-m（1-a²）＞0恒成立．
设g（a）=1-a+ln（）-m（1-a²）（1＜a＜2）．
则g′（a）=-1++2ma==，
①当m≤0时，2ma-（1-2m）＜0，且＞0，所以g′（a）＜0，
所以g（a）在（1，2）上单调递减，且g（1）=0，则g（a）＜0，与g（a）＞0矛盾．
②当m＞0时，g′（a）=，
若，则g′（a）＜0，g（a）在（1，2）上单调递减，且g（1）=0，g（a）＜0，与g（a）＞0矛盾；
若1＜＜2，则g（a）在（1，）上单调递减，在（，2）上单调递增，且g（1）=0，g（a）＜g（1）=0，与g（a）＞0矛盾；
若，则g（a）在（1，2）上单调递增，且g（1）=0，
则恒有g（a）＞g（1）=0，所以，解得m，所以m的取值范围为[，+∞）．
分析：（1）当a=2时，求出f（x），在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（2）对任意的a∈（1，2），当x₀∈[1，2]时，都有f（x₀）＞m（1-a²），等价于f（x₀）_min＞m（1-a²），用导数可求f（x₀）_min，构造函数g（a）=f（x₀）_min-m（1-a²）（1＜a＜2），问题转化为g（a）_min＞0（1＜a＜2），分类讨论可求出m的取值范围．
点评：本题考查综合运用导数求函数的单调区间、最值及函数恒成立问题，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，考查分类讨论思想的运用．