Question

（本小题共14分）

已知双曲线的离心率为，右准线方程为

（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值..

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）  （Ⅱ）的大小为..

【解析】【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．

（Ⅰ）由题意，得，解得，

∴，∴所求双曲线的方程为.

（Ⅱ）点在圆上，

圆在点处的切线方程为，化简得.

由及得，

∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，

∴，且，设A、B两点的坐标分别为，

则，∵，且

，

.∴ 的大小为..

【解法2】（Ⅰ）同解法1.

（Ⅱ）点在圆上，圆在点处的切线方程为，化简得.由及得

   ①     ②

∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，

∴，设A、B两点的坐标分别为，则，

∴，∴ 的大小为..（∵且，

∴，从而当时，方程①和方程②的判别式均大于零）.