Question

已知整数a，b，c，t满足：2^a+2^b=2^c，t=

a+b

c

，则log₂t的最大值是（　　）

• A、0
• B、log₂3
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：由已知得t=

a+b

log2(2a+2b)

≤

a+b

log2(2 2a+b )

=

a+b

1+ a+b 2

，当且仅当a=b时，取最大值，从而t_max=

2a

1+a

=

2

1 a +1

，c=a+1，当a=b=-2时，c=-1，t=

-2-2

-1

=4．由此能求出log₂t的最大值．

解答： 解：∵整数a，b，c，t满足：2^a+2^b=2^c，t=

a+b

c

，
∴t=

a+b

log2(2a+2b)

≤

a+b

log2(2 2a+b )

=

a+b

1+ a+b 2

当且仅当a=b时，取最大值，
∴当a=b＞0时，t_max=

2a

1+a

=

2

1 a +1

，c=a+1，
∵a，b，c，t是整数，∴a=1，t=1，
∴log₂t的最大值为log₂1=0．
当a=b=-2时，c=-1，t=

-2-2

-1

=4，
∴log₂t的最大值为log₂4=2．
综上所述，log₂t的最大值是2．
故选：C．

点评：本题考查对数值的最大值的求法，是中档题，解题时要注意均值不等式的合理运用．