Question

（附加题）是否存在常数c，使得不等式
对于任意正数x，y，z恒成立？试证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：利用x=y=z时，猜测常数c，左边不等式利用换元法，再利用基本不等式可证；右边不等式的证明，用柯西不等式、分析法证明即可．
解答：解：猜测常数（可以猜测等号当且仅当x=y=z时成立）
左边不等式的证明方法，令，则，
∴左边=
右边不等式的证明用柯西不等式证明，证法如下：
右边=
=，
于是要证明右边不等式成立，只需证明，
即证4（x+y+z）²≥3[x²+y²+z²+3（xy+yz+xz）}
即证：x²+y²+z²≥xy+yz+xz
即证：（x-y）²+（y-z）²+（x-z）²≥0
显然成立，故问题得证．
点评：本题的考点是分析法与综合法，考查利用分析法证明不等式，考查基本不等式的运用，注意分析法的证题步骤是解题的关键．