Question

若P，Q是等腰直角三角形ABC斜边AB的三等分点，则tan∠PCQ=

 

．

Answer 1

分析：先根据题意画出图形，使问题直观一些；再把∠PCQ用∠ACQ与∠ACP的差来表示，因为∠ACQ与∠ACP的正切易于在直角三角形中求得；最后由正切的差角公式代入求之．

解答：解：由题意画图如下．
作PD⊥AC、QE⊥AC，则PD∥QE∥BC，所以点D、E是边AC的三等分点．
设α=∠PCQ，β=∠ACQ，γ=∠ACP，则α=β-γ．并设AC=BC=3a，则PD=a，QE=2a．
∴tanβ=

QE

CE

=

2a

a

=2，tanγ=

PD

CD

=

a

2a

=

1

2

∴tanα=tan（β-γ）=

tanβ-tanγ

1+tanβ•tanγ

=

2- 1 2

1+2× 1 2

=

3

4

．
故答案为

3

4

．

点评：本题直接求∠PCQ的正切值比较困难，而采取了把∠PCQ转化为∠ACQ-∠ACP再求之，则问题解决．这种转化的思想在数学中无处不在，核心是把陌生问题转化为相对熟悉的问题．