Question

设二次函数 y=f（x）=ax²+bx+c的图象以y轴为对称轴，已知a+b=1，而且若点（x，y）在 y=f（x）的图象上，则点（x，y²+1）在函数 g（x）=f[f（x）]的图象上．
（1）求g（x）的解析式；
（2）设F（x）=g（x）-λf（x），问是否存在这样的l（λ∈R），使f（x）在(-∞，-

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)内是减函数，在（-

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，0）内是增函数．

Answer 1

分析：（1）根据二次函数 f（x）=ax²+bx+c的图象以y轴为对称轴，得到b=0，又a+b=1，求得a=1，再根据点（x，y）在 y=f（x）的图象上，则点（x，y²+1）在函数 g（x）=f[f（x）]的图象上，代入，即可求得c的值，从而求得函数g（x）的解析式；
（2）根据（1）的结果，假设存在λ满足题意，即说明-

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是函数的一个极小值点，求导，即-

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是导函数的一个零点，解方程即可求得λ的值，注意验证．

解答：解：（1）∵二次函数 f（x）=ax²+bx+c的图象以y轴为对称轴，
∴b=0，又∵a+b=1，∴a=1，
∴f（x）=x²+c，
∵点（x，y）在 y=f（x）的图象上，则点（x，y²+1）在函数 g（x）=f[f（x）]的图象上，
∴y²+1=（x+c）²+c，即（x²+c）²+1=（x+c）²+c，
c=1，
∴f（x）=x²+1；g（x）=（x²+1）²+1；
（2）假设存在λ，使得F（x）在（-∞，-

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)内是减函数，在（-

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，0）内是增函数，
而-

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是函数的一个极小值点，F（x）=（x²+1）²+1-λ（x²+1），
F′（x）=4x（x²+1）-2λx，∴F（-

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）=0，解得λ=3，
经检验知λ=3复合题意，
故λ=3．

点评：此题是个中档题．考查待定系数法求函数解析式，以及利用导数研究函数的单调性和极值问题，体现了转化的思想，其中问题（2）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．