Question

（2013•宁德模拟）已知函数f（x）=x³+bx+c在点（1，f（1））处的切线方程为2x-y-2=0．
（Ⅰ）求实数b，c的值；
（Ⅱ）求函数g（x）=[f（x）-x³]e^x在区间[t，t+1]的最大值；
（Ⅲ）设h（x）=f（x）+6lnx，问是否存在实数m，使得函数h（x）的图象上任意不同的两点A（x₁，h（x₁）），B（x₂，h（x₂））连线的斜率都大于m？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．（e为自然对数的底数，e≈2.71828…）

Answer 1

分析：（I）根据切点既在切线上又在函数f（x）的图象上，建立一个等式关系，再根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，建立另一个关系式，解方程组即可求出b和c的值；
（II）先求导数gˊ（x），在函数的定义域内解不等式gˊ（x）＞0和gˊ（x）＜0，结合对字母t分类讨论，即可求出函数的单调区间，从而得出其最大值；
（III）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在实数m，使得函数h（x）的图象上任意不同的两点A（x₁，h（x₁）），B（x₂，h（x₂））连线的斜率都大于m．则问题可以转化为h（x₂）-mx₂＞h（x₁）-mx₁，即m≤3x²-1+

6

x

在（0，+∞）上恒成立，则问题可以转化为求函数3x²-1+

6

x

在（0，+∞）上的最小值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（Ⅰ）∵点P在切线上，
∴f（1）=0．
∴1+b+c=0．①（2分）
又函数图象在点P处的切线斜率为2，
∴f'（1）=2，
又f'（x）=3x²+b，
∴3+b=2．②（4分）
解由①②组成的方程组，可得b=-1，c=0．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=x³-x，∴g（x）=-xe^x，g′（x）=-（x+1）e^x，
令g'（x）＞0，可得x＜-1；
令g'（x）＜0，可得x＞-1．（7分）
①当t+1＜-1即t＜-2时，函数g（x）在区间[t，t+1]上单调增，得g（x）_max=g（t+1）=-（t+1）e^t+1；
②当t≤-1≤t+1＜即-2≤t≤-1时，函数g（x）在区间[t，-1]上单调增，在区间[-1，t+1]上单调减，得g（x）_max=g（-1）=

1

e

；
③当t＞-1时，函数g（x）在区间[t，t+1]上单调减，得g（x）_max=g（t）=-te^t；
综上，g（x）_max=

-(t+1)et+1，t＜-2 1 e ，-2≤t≤-1 -tet，t＞-1

．
（Ⅲ）假设存在实数m，使得函数h（x）的图象上任意不同的两点A（x₁，h（x₁）），B（x₂，h（x₂））连线的斜率都大于m，即

h(x2)-h(x1)

x2-x1

＞m，不妨设x₂＞x₁＞0，
则问题可以转化为h（x₂）-mx₂＞h（x₁）-mx₁，
∴y=h（x）-mx在（0，+∞）上是增函数，∴y′=3x²-1+

6

x

-m≥0，即m≤3x²-1+

6

x

在（0，+∞）上恒成立，
设H（x）=3x²-1+

6

x

，由H′（x）=6x-

6

x2

＞0，得x＞1，H′（x）＜0，得0＜x＜1．
可知Hf（x）在（0，1）上是减函数，在（ 1，+∞）上是增函数．
∴H（x）的最小值为H（1）=8≥m．（11分）
∴存在m，且m的取值范围是（-∞，8]．（13分）

点评：本题是一综合题，考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值，以及直线的斜率的应用．