Question

已知正四面体S-ABC，M为AB之中点，则SM与BC所成的角的正切值是

11

．

Answer 1

分析：取AC中点N，连接MN、NS．在△ABC中，利用中位线定理得到MN∥BC，所以∠SMN（或其补角）即为SM与BC所成的角．再设正四面体棱长为2，可在△SMN中求出三边的长，可用余弦定理求出∠SMN的余弦值，最后用同角三角函数关系得到SM与BC所成的角的正切值．

解答：解：取AC中点N，连接MN、NS
∵△ABC中，MN是中位线
∴MN∥BC且MN=

1

2

BC
因此∠SMN（或其补角）即为SM与BC所成的角
设正四面体S-ABC棱长为2，则
正三角形SAB中，SM为中线，也是AB边上的高
∴SM=

3

2

AB=

3

，同理可得SN=

3

△SMN中，MN=

1

2

BC=1，所以cos∠SMN=

SM2+MN2-SN2

2SM×MN

=

3

6

∴sin∠SMN=

1-cos2∠SMN

=

33

6

，tan∠SMN=

sin∠SMN

cos∠SMN

=

11

点评：本题给出一个正四面体，要我们求异面直线所成的角，着重考查了正四面体的性质、空间两条异面直线所成角的定义和余弦定理等知识，属于基础题．