Question

4．已知函数f（x）=2x²-4x-5．    
（1）当x∈[-2，2]时，求函数f（x）的最值；
（2）当x∈[t，t+1]时，求函数f（x）的最小值g（t）；
（3）在第（2）问的基础上，求g（t）的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用对称轴和开口方向判断f（x）的单调性，再求出最值；
（2）讨论区间[t，t+1]与对称轴x=1的关系，得出f（x）在[t，t+1]上的单调性，从而得出最小值；
（3）判断g（t）的单调性，得出最小值．

解答 解：（1）f（x）=2（x-1）²-7，
∴f（x）的图象开口向上，对称轴为x=1，
∴当x=1时，f（x）取得最小值f（1）=-7，当x=-2时，f（x）取得最大值f（-2）=11．
（2）若t≥1，则f（x）在[t，t+1]上单调递增，
∴g（t）=f（t）=2t²-4t-5，
若t+1≤1即t≤0，则f（x）在[t，t+1]上单调递减，
∴g（t）=f（t+1）=2t²-7，
若t＜1＜t+1，即0＜t＜1时，f（x）在[t，t+1]上先减后增，
∴g（t）=f（1）=-7．
∴g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{2{t}^{2}-7，t≤0}\\{-7，0＜t＜1}\\{2{t}^{2}-4t-5，t≥1}\end{array}\right.$．
（3）当t≤0时，g（t）是减函数，
∴g（t）在（-∞，0]上的最小值为g（0）=-7，
当0＜t＜1时，g（t）=-7，
当t≥1时，g（t）是增函数，
∴g（t）在[1，+∞）上的最小值为g（1）=-7，
∴g（t）的最小值为-7．

点评 本题考查了二次函数的单调性与最值的计算，分类讨论思想，属于中档题．