Question

若f（x）=x³+3x，g（x）=x²-1，（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若f（x）+mg（x）在（1，+∞）上单调递增，求m的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=x³+3x，
∴f′（x）=3x²+3
∴f′（x）=3x²+3≥0
∴f（x）的单调递增区间是（-∞，+∞）
（2）h（x）=f（x）+mg（x）=x³+mx²+3x-m
∴h′（x）=3x²+2mx+3
∵f（x）+mg（x）在（1，+∞）上单调递增
∴h′（x）=3x²+2mx+3≥0在（1，+∞）上恒成立
∴m≥在（1，+∞）上恒成立
∵
∴m≥-3
分析：（1）先由f（x）=x³+3x，求导，再由f′（x）=3x²+3≥0，求得增区间．
（2）先构造出h（x）=f（x）+mg（x）=x³+mx²+3x-m，再求导h′（x）=3x²+2mx+3，再由“f（x）+mg（x）在（1，+∞）上单调递增”，转化为h′（x）=3x²+2mx+3≥0在（1，+∞）上恒成立，进而转化为m≥在（1，+∞）上恒成立求解．
点评：本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，已知函数单调性求参数的范围，往往转化为求相应函数的最值问题．