Question

某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R（x）（万元）满足：R（x）=
假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律．
（1）试写出利润函数p（x）的函数表达式．
（2）要使工厂有赢利，产量x应控制在什么范围？
（3）工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？

Answer 1

解：（1）依题意，G（x）=x+2．
设利润函数为p（x），
则p（x）=（4分）
（2）要使工厂有赢利，
即解不等式p（x）＞0，（5分）
当0≤x≤5时，
解不等式-0.4x²+3.2x-2.8＞0，
即x²-8x+7＜0，
∴1＜x＜7．
∴1＜x≤5； （7分）
当x＞5时，解不等式8.2-x＞0，
得x＜8.2，
∴5＜x＜8.2．（9分）
综上，要使工厂赢利，x应满足1＜x＜8.2，
即产品应控制在大于100台且小于820台的范围 （11分）
（3）0≤x≤5时，
f（x）=-0.4（x-4）²+3.6．
故当x=4时，f（x）有最大值3.6． （14分）
而当x＞5时，
f（x）＜8.2-5=3.2．
所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多．（16分）
分析：（1）依题意，G（x）=x+2．设利润函数为p（x），由题设条件写出利润函数p（x）的函数表达式．
（2）要使工厂有赢利，即解不等式p（x）＞0，当0≤x≤5时，解不等式-0.4x²+3.2x-2.8＞0，得1＜x≤5；当x＞5时，解不等式8.2-x＞0，得5＜x＜8.2．由此知要使工厂赢利，产品应控制在大于100台且小于820台的范围．
（3）0≤x≤5时，f（x）=-0.4（x-4）²+3.6．故当x=4时，f（x）有最大值3.6．而当x＞5时，f（x）＜8.2-5=3.2．由此可知当工厂生产400台产品时，赢利最多．
点评：本题考查函数在生产实际中的具体运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．