Question

（本小题满分16分）
已知函数的图象过点，且在点处的切线与直线垂直．
(1) 求实数的值；                                                (6分)
(2) 求在（为自然对数的底数）上的最大值；              (5分)
(3) 对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？                  (5分)

Answer 1

（1）当时，，                      ………2分
由题意得：，即，                         ………4分
解得：。                                                    ………6分
（2）由（1）知：
①当时，，
解得；解得或
∴在和上单减，在上单增，
由得：或，                          ………7分
∵　，
∴在上的最大值为。                                     
②当时，，
当时，；当时，在单调递增；
∴在上的最大值为。                                      --……9分
∴当时，在上的最大值为；
当时，在上的最大值为。                         …………11分
（3）假设曲线上存在两点满足题意，则只能在轴两侧，不妨设，则，且。
∵是以为直角顶点的直角三角形
∴，即（*）                          ……13分
是否存在等价于方程（*）是否有解。
①若，则，代入方程（*）得：，
即：，而此方程无实数解，从而，                    
∴，代入方程（*）得：，
即：，                                                
设，则在恒成立，
∴在上单调递增，从而，则的值域为。
∴当时，方程有解，即方程（*）有解。
∴对任意给定的正实数，曲线上总存在两点，
使得是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴

略