如图，△ABC是边长为1的正三角形，点P在△ABC所在的平面内，且 $数学公式$ $数学公式$ （a为常数）．下列结论中，正确的是

A.
当0＜a＜1时，满足条件的点P有且只有一个．
B.
当a=1时，满足条件的点P有三个．
C.
当a＞1时，满足条件的点P有无数个．
D.
当a为任意正实数时，满足条件的点P是有限个．

C
分析：以BC所在直线为x轴，BC中点为原点，建立直角坐标系，如图所示设P（x，y），将式子 $\text{[math]}$ 化为关于x、y、a的式子，化简整理可得x²+（y- $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ （a-1），讨论a的取值范围，可得当a＞1时方程表示以点（0， $\text{[math]}$ ）为圆心，半径r= $\text{[math]}$ 的圆，满足条件的点P有无数个，可知只有C项符合题意．
解答：

解：以BC所在直线为x轴，BC中点为原点，建立直角坐标系，如图所示
则A（- $\text{[math]}$ ，0），B（ $\text{[math]}$ ，0），C（0， $\text{[math]}$ ），设P（x，y），可得
$\text{[math]}$ =x²+（y- $\text{[math]}$ ）²， $\text{[math]}$ =（x+ $\text{[math]}$ ）²+y²， $\text{[math]}$ =（x- $\text{[math]}$ ）²+y²
∵ $\text{[math]}$
∴x²+（y- $\text{[math]}$ ）²+（x+ $\text{[math]}$ ）²+y²+（x- $\text{[math]}$ ）²+y²=a
化简得：3x²+3y²- $\text{[math]}$ y+ $\text{[math]}$ -a=0，即x²+y²- $\text{[math]}$ y+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =0
配方，得x²+（y- $\text{[math]}$ ）²= $\text{[math]}$ （a-1）…（1）
当a＜1时，方程（1）的右边小于0，故不能表示任何图形；
当a=1时，方程（1）的右边为0，表示点（0， $\text{[math]}$ ），恰好是正三角形的重心；
当a＞1时，方程（1）的右边大于0，表示以（0， $\text{[math]}$ ）为圆心，半径为 $\text{[math]}$ 的圆
由此对照各个选项，可得只有C项符合题意
故选：C
点评：本题给出正三角形中满足条件的动点P，求点P的轨迹方程，着重考查了坐标系内两点的距离公式、圆的标准方程和含有参数的二次方程的讨论等知识，属于中档题．

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