Question

已知正数数列{a_n}中，a₁=1，当n∈N^*，n≥2时满足

an

an-1

=

an-1+2n-1

an-2n+1

，求
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）记数列{

1

4 an

}的前n项和为A_n，证明An＜2

n

；
（3）bn=

an(2n-1)

n2+cn

（c为非零常数），若数列{b_n}是等差数列，其前n项和为S_n，求数列{（-1）ⁿS_n}的前m项和T_m．

Answer 1

分析：对递推式进行变形得到：a_n-a_n-1=2n-1，再利用累加法求通项公式，本题（2）中的数列求和需要利用放缩法，放缩要恰到好处，这是难点之一．求数列{（-1）ⁿS_n}的前m项和T_m时，要先求出S_n再对n进行奇偶讨论．

解答：解：（1）交叉相乘?a_n=n²
（2）

1

4 an

=

1

n

=

2

2 n

＜

2

n + n-1

∴An＜2(

1

-

0

+

2

-

1

++

n

-

n-1

)=2

n

（3）2b2=b1+b3?C=-

1

2

?b_n=2n?S_n=n²+n
当m=2kT_m=-2（1-3）-4（3-5）-2k[（2k-1）-（2k+1）]=2k(k+1)=

m(m+2)

2

当m=2k-1T_m=T_m+1-（-1）^m+1S_m+1=-

(m+1)2

2

∴Tm=

m(m+2) 2 m=2k - (m+1)2 2 m=2k-1

点评：本题（1）属于基础题目，另外2问较难一点，特别是放缩法的应用，得出t_m的值要进行讨论，并分段表示也是一个难点．